在欧几里得几何中,莫雷角三分线定理(Morley's theorem)说明对所有的三角形,其三个内角作角三分线,靠近公共边三分线的三个交点,是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线,也会有类似的性质,可以再作出4个等边三角形。
此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形,因为已经证明出尺规作图无法作出三等分角。
由三倍角公式及和差公式可得出:
在中:
作6条角三分线分别为、、、、、,作、、在上,且、
容易得出,由此等式还可以得出以下三式:
由正弦定理可得出:
从这里可以得出的三个内角,计算出和的正弦值:
我们知道:
从引理我们可以得出:
化简后得出:
因为和相似,所以可得出:
同理可得出:
综合以上结果,可得出,因此是等边三角形
更一般的莫雷角三分线定理由Taylor和Marr于1914年发表,将6条角三分线顺时钟和逆时钟旋转120°,其交点共可得出27个不同的等边三角形。
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