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测度

数学分析上,测度(英语:measure)是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数。感官上,测度的概念相当于长度、面积、体积等。一个特别重要的例子是欧式空间上的勒贝格测度,它把欧式几何上传统的诸如长度、面积和体积等概念赋予 n 维欧式空间 R 。例如,实数区间 上的勒贝格测度就是它显而易见的长度,即 1。

传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析和概率论有重要的地位。

测度论是实分析的一个分支,研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分,其重要性在概率论和统计学中都有所体现。

X {\displaystyle X} 是个集合,定义在 X {\displaystyle X} 上的另一集合 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的元素是 X {\displaystyle X} 的子集合,而且是一个σ-代数,测度 μ {\displaystyle \mu } (详细的说法是可数可加的正测度)是个定义在 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的函数,于 {\displaystyle } 中取值,且满足以下性质:

这样的三元组 ( X , A , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} 称为一个测度空间,而 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的元素称为这个空间中的可测集合。

下面的一些性质可从测度的定义导出:

测度 μ   {\displaystyle \mu \ } 的单调性:若 E 1   {\displaystyle E_{1}\ } E 2   {\displaystyle E_{2}\ } 为可测集,而且 E 1 E 2 {\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}} ,则 μ ( E 1 ) μ ( E 2 ) {\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}

E 1 , E 2 , E 3 {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots } 为可测集(不必是两两不交的),则集合 E n   {\displaystyle E_{n}\ } 的并集是可测的,且有如下不等式(“次可列可加性”):

如果还满足并且对于所有的 n   {\displaystyle n\ } E n   {\displaystyle E_{n}\ } E n + 1   {\displaystyle E_{n+1}\ } ,则如下极限式成立:

E 1 , E 2 , {\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots } 为可测集,并且对于所有的 n   {\displaystyle n\ } E n + 1   {\displaystyle E_{n+1}\ } E n   {\displaystyle E_{n}\ } ,则 E n   {\displaystyle E_{n}\ } 的交集是可测的。进一步说,如果至少一个 E n   {\displaystyle E_{n}\ } 的测度有限,则有极限:

如若不假设至少一个 E n   {\displaystyle E_{n}\ } 的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个 n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ,令

这里,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。

如果 μ ( X )   {\displaystyle \mu (X)\ } 是一个有限实数(而不是 {\displaystyle \infty } ),则测度空间 ( X , A , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} 称为有限测度空间。非零的有限测度与概率测度类似,因为可以通过乘上比例因子 1 μ ( X ) {\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}} 进行归一化。如果 X   {\displaystyle X\ } 可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,则该测度空间称为 σ {\displaystyle \sigma } -有限测度空间。如果测度空间中的一个集合 A   {\displaystyle A\ } 可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,就称 A   {\displaystyle A\ } 具有 σ {\displaystyle \sigma } -有限测度。

作为例子,实数集赋以标准勒贝格测度是 σ {\displaystyle \sigma } -有限的,但不是有限的。为说明之,只要考虑闭区间族,k取遍所有的整数;这样的区间共有可数多个,每一个的测度为1,而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子,取实数集上的计数测度,即对实数集的每个有限子集,都把元素个数作为它的测度,至于无限子集的测度则令为 {\displaystyle \infty } 。这样的测度空间就不是 σ {\displaystyle \sigma } -有限的,因为任何有限测度集只含有有限个点,从而,覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。 σ {\displaystyle \sigma } -有限的测度空间有些很好的性质;从这点上说, σ {\displaystyle \sigma } -有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

对于一个可测集 N {\displaystyle N} ,若 μ ( N ) = 0   {\displaystyle \mu (N)=0\ } 成立,则称为零测集,其子集称为可去集。

一个可去集未必是可测的,但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测,则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:

考虑 X {\displaystyle X} 的所有与某个可测集 E {\displaystyle E} 仅差一个可去集的子集 F {\displaystyle F} ,可得到 E {\displaystyle E} F {\displaystyle F} 的对称差包含于一个零测集中。

由这些子集 F {\displaystyle F} 生成的σ代数,并定义 μ ( F ) = μ ( E ) {\displaystyle \mu (F)=\mu (E)} ,所得到的测度即为完备测度。

下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。

其它例子,包括:狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

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